Resumen. En este trabajo presentamos evidencia de la gran ventaja del uso de ondaletas (wavelets) en la estimación funcional. Comparamos su desempeño con un método clásico de spline. Utilizamos los datos de evapotranspiración de 12 regiones hidrográficas de Brasil. Los datos presentan un comportamiento de estacional y un alto nivel de ruido. Para la comparación de las estimaciones empleamos la media total de evapotranspiración de la región del Atlántico Este. Concluimos que la cura estimada vía ondaletas se adapta mejor a la evolución de los datos que la curva estimada vía spline.

Estudio descriptivo

El conjunto de datos contiene series promedio de evapotranspiración en milímetros de regiones hidrográficas en Brasil entre los años 1980 y 2018. Los datos se dividen en 12 grupos (regiones hidrográficas), con 897 observaciones que tienen M=14.245 puntos tomados diariamente. Las regiones consideradas son las siguientes: Amazonía, Tocantins-Araguaia, Atlántico Noreste Oeste, Parnaíba, Atlántico Noreste Este, São Francisco, Atlántico Este, Atlántico Sudeste. La base de datos fue publicada en la plataforma zenodo Chagas et al. (2020b) disponible en [https://zenodo.org/record/3709338#.Yh50UHVBzIU]. La base de datos completa fue descrita en el trabajo Chagas et al. (2020a). No encontramos citas de revistas estadísticas.

La Figura 1 muestra series de evapotranspiración en milímetros de regiones hidrográficas coloreadas por grupo. Por razones de la gran cantidad de puntos, se consideraron las primeras 1024 observaciones. Los restantes tuvieron un comportamiento similar debido al comportamiento estacionario de los datos. Observamos un comportamiento estacionario en todos ellos y diferencias en el tiempo cuando ocurren las transiciones de tendencia.

En la Figura 2, observamos que, en promedio, la amplitud de la evapotranspiración difiere según cada región hidrografica. En general, los ejes de los medios varían en el rango [2.5, 3.5] milímetros.

## [1] 36.41054 17.85149 36.98006 26.30188 29.69018 39.92257 23.67342 34.26327

Empleamos una base de ondaletas Daubechies asimetrica con 5 momentos nulos. Para la estimación de los coeficientes de ondaletas, empleamos una política LSuniversal y la regla dura para el umbral aplicado por cada nivel. Consideramos los niveles mínimos \(j_0= 3\) y \(j_1= 12\). La Figura 3 presenta los diagramas de caja de los coeficientes estimados \(\widehat{c}_{3 k}\). Se destacan los coeficientes de las regiones Amazonas, Tocantins-Araguaia Paraná y Paraguay, cuyas medianas son superiores al resto. En cambio, los coeficientes de los grupos del Atlántico Oeste y Atlántico Este tienen medianas más bajas que el resto. Los gráficos boxplot de los coeficientes muestran diferencias entre los promedios de evapotranspiración.

Tabla 1. Variación de djk antes y después del alisamiento.
42.285 1.123 2.655
205.723 41.233 20.043
66.155 0.000 0.000
167.228 65.358 39.083
187.211 19.949 10.656
95.845 29.668 30.954
82.595 1.485 1.798
82.922 15.165 18.288
113.187 23.726 20.962
91.056 43.503 47.776
333.074 142.031 42.642
256.689 65.342 25.456

La Tabla 1 presenta las sumas \(\sum_{j=3}^{12} \sum_k d_{jk}^2\) antes y después del umbral en la segunda y tercera columna, respectivamente. La cuarta columna enumera la proporción de las sumas de \(d_{jk}^2\) después y antes del umbral por grupo. Los porcentajes varían en el rango \([0\%, 22.853 \%]\) lo que representa un alto impacto del umbral en la contracción de los coeficientes \(d_{jk}\). Los grupos donde el umbral tuvo un impacto entre \(18.210\%\) y \(22.853\%\) fueron el Atlántico Occidental y el Atlántico Oriental. En el resto de casos, el impacto fue inferior a \(4.2\%\). Estos resultados muestran un impacto extremadamente fuerte del proceso de alisamiento.

Reconstrucción de las medias de evaporación

La Figura 4 muestra la evapotranspiración promedio observada en la región del Atlántico este y en rojo la evapotranspiración promedio estimada (primera 1024 observaciones). Mediante la aplicación de la suavización de los coeficientes \(d_{jk}\), la estimación se realizó mediante reconstrucción de datos, considerando un nivel inicial igual a 5. Se observó la gran flexibilidad de la estimación para adaptarse a los incrementos y decrementos irregulares de los datos.

Es recomendable utilizar un método estadístico basado en wavelet debido a sus ventajas matemáticas y computacionales expuestas en diferentes trabajos (Morettin, 2017 ; Vidakovic, 2009). Otros metodos basado en bases spline (polinomios) y analisis espectral (base sinusoidal) (Ramsay and Silverman, 2002). Sin embargo, los métodos basada en ondaletas destacan devido a que su capacidad de para modelar datos no estacionarios. La estimación via ondaletas es realizda por medio de la reconstrucción de los datos posterior a un alisamiento de los coeficientes \(d_{jk}\).

La estimación de la curva de evapotranspiración promedio vía reconstrucción de ondaletas muestra una gran flexibilidad para adaptarse a los cambios de la evapotranspiración. Observamos como ante cambios de aumentos y decrecimo cortos y repentinos, la estimación se adapta muy bien.

Referencias