Resumén. En este trabajo proponemos una prueba de Análisis de la Variancia Funcional (ANOVAF) empleando quasi U-estadísticas y descomposición de ondaletas. El método fue aplicado sobre un conjunto de datos de superficie de córnea de cuatro tipos. La estadística del test se distribuye asintótico normal, sin embargo, el cálculo del p-valor es utilizado vía métodos bootstrap. La aplicación del método no encontró diferencias entre los grupos de curvas.

Estudio descriptivo

El conjunto de datos proviene de un estudio de ceratocone realizado por N. Tripoli y el Dr. K. L. Cohen del Departamento de Oftalmología de la Universidad de Carolina del Norte en Chapel Hill. Se derivaron de un procedimiento de regularización que emplea una base polinomial de Zernike en una cuadrícula de ubicación polar, donde las alturas se estiman mediante regresión paramétrica. Para obtener más detalles sobre cómo se obtuvieron los datos, el lector puede consultar la sección 4 de Smaga & Zhaga (2019). El conjunto de curvas está formado por \(n_1 = 43\), \(n_2 = 14\), \(n_3 = 21\) y \(n_4 = 72\) observaciones de \(r = 4\) grupos: Normal, Unilateral-Suspect, Suspect-Map y Clinical- Keratoconus, respectivamente. Los datos originales tienen 2000 puntos en cada observación, los cuales han sido normalizados. Para asegurar que el número de observaciones sea una potencia de 2, aplicamos el procedimiento de extensión de espejo completando 2048 puntos en cada observación.

Solo existe un articulo en la literatura científica que estudia la diferencia entre grupos de altura corneal con estos datos. Smaga & Zhaga (2019) aplico procedimientos de Analisis de la Varianza funcional (FANOVA). Los procedimientos de prueba empleados rechazan la hipótesis nula de equivalencia en las alturas superficiales de las córneas promedio en los cuatro grupos. Los autores también probaron la hipótesis de la misma media funcional comparando un par de casos, rechazando la hipótesis nula (con la excepción de un caso).

La Figura 1 muestra las alturas de la superficie corneal coloreadas por grupo. Los datos muestran características de curvas sinusoidales decrecientes, pero con una amplitud creciente. Observamos una amplitud grande y una frecuencia baja para el caso de Unilateral, sin embargo, la mayoría de las observaciones en el caso de Queratocono Clínico tienen una amplitud mayor que el resto. Por otro lado, los casos Normal y Unilateral Sospechoso muestran pequeñas diferencias.

La Figura 2 destaca la diferencia en la amplitud de altura media entre el caso de Queratocono clínico que el resto. Observamos pequeñas discrepancias entre las medias de los pares: Normal-Unilateral, Normal-Sospechoso, y Unilateral-Sospechoso, mientras que observamos discrepancias mayores entre las medias de los pares: Normal-Queratocono, Unilateral-Queratocono y Sospecha-Queratocono.

La Figura 3 ilustra los barplots de los coeficientes de escala \(\widehat{c}_{jk}\) por cada media de los grupos. No observamos grandes diferencia entre ellos. Si embargo, es posible distinguir que, los coeficientes del caso Keratokonus y Normal presentan una mayor dispersión.

Estudio Inferencial: ¿las alturas de las superficies de cada tipo de cornea son diferentes?

El alcance de nuestra propuesta considera modelar grupos de curvas r mediante modelos funcionales \(Y_{il} (t)\) que satisfacen la condición \[ d Y_{il}(t)= f_{i}(t)dt + \epsilon d W_{il}(t), \quad i=1,\ldots, r, ; \quad l=1,\ldots n_i ; \quad t\in[0,1], \] donde \(\epsilon> 0\) es el llamado coeficiente de difusión, \(f_ {i} (t) \in B_ {pq} ^ {o} (C)\) (un espacio de Besov en \([0,1]\) con radio \(C > 0\)) y \(W_{il}(t)\) es una secuencia de procesos estocásticos débilmente estacionarios con media cero, cuyas realizaciones son independientes. Consideremos que la componente sistemática \(f_{i}(t)\) tiene la siguiente descomposición \[ f_{i}(t) = m+ \mu(t) + g_{i}(t), \quad i=1,\ldots, r; \quad t \in [0,1], \] donde \(m\) es una constante, \(\mu(t)\) es cero o una función no constante de \(t\) (el efecto principal de \(t\)), y \(g_{i}(t)\) es una función que contiene la interacción entre el \(i\)-ésimo grupo y el tiempo \(t\). La función \(g_{i}(t)\) será una función distinta de cero o distinta de cero que no se puede descomponer como una suma de \(i\) y una función de \(t\). Como generalmente se establece en la literatura, es necesario que \(\mu (t)\) y \(g_ {i} (t)\) satisfagan algunas condiciones de identificabilidad.

Consideremos el nivel inicial \(j_0\) y el nivel máximo \(j_1\) fijados de tal forma que \(0<j_0 < j_1< J\). Definamos el \(l\)-ésimo vector de coeficientes del \(i\)-ésimo grupo de tamaño \(M= 2^{J}\) por

\[ \mathbf{X}_{il}= \Big[ C_{il}(j_ {0}, 0), \ldots, C_{il}(j_ {0}, 2^{j_0} -1), D_{ il}(j_ {0}, 0), \ldots, D_{il}(j_ {1}, 2^{j_1}-1) , \ldots, D_{il}(J, 2^{J}-1 ) \Big]. \]

En consecuencia, a partir de la construcción y supuestos sobre los procesos \(W_{il}(t)\), los vectores de la sucesión \(\mathbf{X}_{i 1}, \ldots,\mathbf{X}_{i n_i}\) son mutuamente independientes. Además, supondremos que los vectores del \(i\)-ésimo grupo tienen la misma distribución multivariada \(\mathbf{F}_i\) definida bajo un espacio de probabilidad común.

Considere \(r\) \((\geq 2)\) grupos independientes de vectores de coeficientes de ondaletas \(\mathbf {X} _ {i 1}, \ldots, \mathbf {X} _ {i n_i}\) con función de distribución \(M\)-dimensional $i $ definida en el mismo espacio de probabilidad para cada $i = 1, , r $. Denotamos por \(F_ {i}^{m}\) la m-ésima distribución marginal de $ {i} $, para \(m=1,\ldots, M\).

Consideremos un kernel no negativo $ ( {im}, {i^{}ms})={m=1}^{M}1/2(X{im} - X_{i^{}m} ) $. Siguiendo a , ahora definiremos las estadísticas U de datos intra, inter y combinados del grupo(s) para muestras aleatorias de coeficientes ondaletas. Definimos las U estadísticas intragrupo por

\[ U_{ i} = \binom{n_i}{2}^{-1} \sum_{1\leq l < s \leq n_i} \mathbf{h} (\mathbf{X}_{il }, \mathbf{ X}_{es} ), \quad i=1,\ldots,r, \] Consideremos una muestra adicional \(\mathbf {X}_ {i ^ {\prime} 1}, \ldots, \mathbf {X}_ {i ^ {\prime} n_ {i ^ {\prime}}}\) de \(\mathbf{F}_ {i ^ {\prime}}\) correspondiente al $i^{} $-ésimo grupo. Definimos el estadístico U generalizada por \[ U_{ ii^{\prime}} = \frac{1}{n_{i} n_{i^{\prime}} } \sum_{l=1}^{n_i} \sum_{s=1}^{ n_{i^{\prime}}} \mathbf{h} ( \mathbf{X}_{il}, \mathbf{X}_{i^{\prime} s}), \quad 1 \leq i < i^{\primo} \leq r, \] Ambas estadísticas son estimadores no sesgados de las distancias funcionales entre funciones de distribución. El estadístico de la prueba de hipótesis viene dado por

\[ B_n  = \sum_{1 \leq i < i^{\prime} \leq r} \frac{ n_i n_{i^{\prime}}}{n(n-1) } \left\{2 U_{ i i^{\prime}} - U_{ i} - U_{ i^{\prime}} \right\}.  \]

Sobre \(H_0\), en media, el estadístico \(B_0\) es igual a cero. En cambio, sobre \(H_1\), en media, el estadístico \(B_n\) es positivo.

En la literatura existen algunas propuestas para testar \(H_0\). Por ejemplo, Ingster (2012) presenta una descripción general de los procedimientos de hipótesis asintóticamente funcionales minimax para probar una función nula (\(f_i(t) = 0\)) en un modelo gaussiano de ‘’señal más ruido’’, considerando varios distancias de separación entre la hipótesis nula y la alternativa. Basado en esto, Abramovich et al. (2004) propone una prueba de hipótesis para las hipótesis \(\mu(t)=0\) y \(g_{i}(t)=0\).

Q1 Q2 Q3 Bn x 10^5 P-valor
B=2000
— — — — —
-2.048 -0.367 1.735 5.382 0.058
B=10000
-2.031 -0.463 1.567 - 0.051

Finalmente, estudiamos la densidad estimada de la distribución bootstrap de \(B_n\). La Figura ? muestra la densidad estimada de \(B_n\) para muestras de tamaño \(2000\) y \(10000\). Notamos que ambas no difieren mucho entre sí en términos de dispersión, aunque ambas están centrados alrededor de -0.35 y ligeramente sesgados hacia la derecha. En la Tabla ? enumeramos los cuartiles, el valor observado de \(B_n\) y los respectivos p-valores de bootstrap para \(H_0\). En esta tabla, confirmando lo observado en la Figura de las densidades, no observamos grandes diferencias en los cuartiles, obteniendo p-valores muy cercanos. Con base en los p-valores, con \(5\%\) de significancia, no rechazamos \(H_0\), es decir, concluimos que en relación a la muestra, las curvas de altura corneal no son significativamente diferentes.

Conclusiones. En este trabajo hemos descompuesto observaciones de curvas vía una transformada discreta de ondaleta. La descomposición es tomadas como la muestra transformada y con ella aplicamos nuestra propuesta de prueba de hipótesis. El procedimiento tiene muchas ventajas como aquella ampliamente discutida en la literatura (por ejemplo, anulación de la autocorrelación de los datos). Fue utilizada la función de diferencia cuadrática y una prueba del tipo bootstrap. El procedimiento no encuentro diferencias no rechazo la hipótesis de equivalencia en la función \(g_i(t)\).

Referencias

  • Abramovich, F., Antoniadis, A., Sapatinas, T., & Vidakovic, B. (2004). Optimal testing in a fixed-effects functional analysis of variance model. International Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing, 2(04), 323-349.

  • Ingster, Y., Ingster, J. I., & Suslina, I. A. (2003). Nonparametric goodness-of-fit testing under Gaussian models (Vol. 169). Springer Science & Business Media.

  • Pinheiro, A., Sen, P. K., & Pinheiro, H. P. (2009). Decomposability of high-dimensional diversity measures: Quasi-U-statistics, martingales and nonstandard asymptotics. Journal of Multivariate Analysis, 100(8), 1645-1656.

  • Pinheiro, A., Sen, P. K., & Pinheiro, H. P. (2011). A class of asymptotically normal degenerate quasi U-statistics. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 63(6), 1165-1182.

  • Smaga, L., & Zhang, J. T. (2019). Linear hypothesis testing with functional data. Technometrics, 61(1), 99-110.